题目内容
【题目】已知函数.
(1)若在其定义域上单调递减,求
的取值范围;
(2)证明:在区间
恰有一个零点.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1) ,如果
单调递减,则当
时,
恒成立,可求出答案.
(2) 当时,由于
在区间
单调递减,且
,
,命题成立. 当
时,由于
,方程
在区间
有唯一的实根
,从而
在区间
单调递减,在区间
单调递增,可以讨论得到命题的证明.
(1)由于的定义域为
,且
,所以如果
单调递减,则当
时,
恒成立,解得
,即
的取值范围为
.
(2)(i)当时,由于
在区间
单调递减,且
,
,所以
区间
恰有一个零点;
(ii)当时,由于
,
由,设
,
对称轴为,
,且
.
所以方程在区间
有唯一的实根
,
从而在区间
单调递减,在区间
单调递增,注意到
,
所以区间
的零点个数不超过1个.
①当时,由于
,所以
区间
恰有一个零点;
②当时,由于
,所以
区间
恰有一个零点.
综上,在区间
恰有一个零点.
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【题目】南充高中扎实推进阳光体育运动,积极引导学生走向操场,走进大自然,参加体育锻炼,每天上午第三节课后全校大课间活动时长35分钟.现为了了解学生的体育锻炼时间,采用简单随机抽样法抽取了100名学生,对其平均每日参加体育锻炼的时间(单位:分钟)进行调查,按平均每日体育锻炼时间分组统计如下表:
分组 | ||||||
男生人数 | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人数 | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若将平均每日参加体育锻炼的时间不低于120分钟的学生称为“锻炼达人”.
(1)将频率视为概率,估计我校7000名学生中“锻炼达人”有多少?
(2)从这100名学生的“锻炼达人”中按性别分层抽取5人参加某项体育活动.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若从这5人中随机抽取2人作为组长候选人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
【题目】2020年春,新型冠状病毒在我国湖北武汉爆发并讯速蔓延,病毒传染性强并严重危害人民生命安全,国家卫健委果断要求全体人民自我居家隔离,为支援湖北武汉新型冠状病毒疫情防控工作,各地医护人员纷纷逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社区为保障居民的生活不受影响,由社区志愿者为其配送蔬菜、大米等生活用品,记者随机抽查了男、女居民各100名对志愿者所买生活用品满意度的评价,得到下面的2×2列联表.
特别满意 | 基本满意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被调查的男性居民中有5个年轻人,其中有2名对志愿者所买生活用品特别满意,现在这5名年轻人中随机抽取3人,求至多有1人特别满意的概率.
(2)能否有99%的把握认为男、女居民对志愿者所买生活用品的评价有差异?
附: