题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,双曲线:
经过点
,其中一条近线的方程为
,椭圆
:
与双曲线
有相同的焦点
椭圆
的左焦点,左顶点和上顶点分别为F,A,B,且点F到直线AB的距离为
.
求双曲线
的方程;
求椭圆
的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】
由双曲线经过点
,可得m;再由渐近线方程可得m,n的方程,求得n,即可得到所求双曲线的方程;
由椭圆的a,b,c的关系式,求得F,A,B的坐标,可得直线AB的方程,由点到直线的距离公式,可得a,b的关系式,解方程可得a,b,进而得到所求椭圆方程.
解:双曲线
:
经过点
,
可得,
其中一条近线的方程为,可得
,
解得,
,
即有双曲线的方程为
;
椭圆
:
与双曲线
有相同的焦点,
可得,
椭圆的左焦点,左顶点和上顶点分别为
,
,
,
由点F到直线AB:的距离为
,可得
,化为
,
由解得
,
,
则椭圆的方程为
.
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