题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为
,两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,过点
且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M,N不同的两点.
(Ⅰ)求椭圆P的方程;
(Ⅱ)当AM与MN垂直时,求AM的长;
(Ⅲ)若过点P且平行于AM的直线交直线于点Q,求证:直线NQ恒过定点.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由题意布列关于a,b的方程组,即可得到结果;
(2)由与
垂直得
,结合点在曲线上,可得M点坐标,结合两点间距离公式可得结果;
(3)设,
,由题意,设直线
的方程为
,利用韦达定理即可得到结果.
(1)因为,所以
因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以椭圆方程为 .
(2)方法一:
设,
,
,
,
,
,
(舍)
所以.
方法二:
设,
因为与
垂直,
所以点在以
为直径的圆上,
又以为直径的圆的圆心为
,半径为
,方程为
,
,
,
(舍)
所以
方法三:
设直线的斜率为
,
,其中
化简得
当时,
得 ,
显然直线存在斜率且斜率不为0.
因为与
垂直,
所以
,
得,
,
,
所以
(3)直线恒过定点
,
设,
,
由题意,设直线的方程为
,
由 得
,
显然,,则
,
,
因为直线与
平行,所以
,
则的直线方程为
,
令,则
,即
,
,
直线的方程为
,
令,得
,
因为,故
,
所以直线恒过定点
.
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