Question

3．已知函数f（x）=x³-x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（2，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，求得单调区间，可得[-2，0]上的最大值；
（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率，可得切线的方程，代入（2，t），令g（x）=2x³-6x²+t+2，求得极值，令极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可得到t的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x³-x的导数为f′（x）=3x²-1，
当-2＜x＜-$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
所以，当$x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，f（x）有最大值$f（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）=\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$；
（Ⅱ）设切点为$（{x_0}，x_0^3-{x_0}）$，切线斜率$k=3x_0^2-1$，
从而切线方程为$y-（x_0^3-{x_0}）=（3x_0^2-1）（x-{x_0}）$，
又过点P（2，t），所以$t-（x_0^3-{x_0}）=（3x_0^2-1）（2-{x_0}）$，
整理得$2x_0^3-6x_0^2+t+2=0$，
令g（x）=2x³-6x²+t+2，则g′（x）=6x²-12x，
由g′（x）=0得x=0或x=2，
当x变化时，g（x）与g′（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

于是，$\left\{\begin{array}{l}g（0）=t+2＞0\\ g（2）=t-6＜0\end{array}\right.$，所以-2＜t＜6．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．