题目内容
【题目】已知,.
(1)若直线与圆:相切,求被圆:所截得弦长取最小值时直线的斜率;
(2)时,:表示圆,问是否存在一条直线,使得它和所有的圆都没有公共点?如果存在,求出直线,若不存在,说明理由;
(3)若满足不等式和等式的点集是一条线段,求取值范围.
【答案】(1);(2)存在,:;(3).
【解析】
(1)画出图像分析可得, 直线与直线垂直时被圆:所截得弦长取最小值.
再根据垂直的直线斜率之积为-1求解即可.
(2)当时代入有
,即又,故猜测存在一条直线,使得它和所有的圆都没有公共点,再证明即可.
(3) 的解集为或两条直线, 为两圆之间的部分,数形结合列式求解即可.
(1)由,
即圆心,半径
即圆心,半径
因为当被圆:所截得弦长取最小值时,圆心到直线的距离最大.
又到的距离,当且仅当直线与直线垂直时取得为最大值,此时斜率,故直线斜率
(2) 存在,:和所有的圆都没有公共点.
证明:由题:,即
,
变形得
即,
故:
若与有交点,则
有解.上式减去倍的下式有:
有解.
即圆与直线有交点,圆半径
但圆心到距离 .
故圆与直线无交点.
即和所有的圆都没有公共点.
(3)由题得的解集为或两条直线,得且
即为两圆 与之间的部分.
又若不等式和等式的点集是一条线段,则需注意临界条件.
当与圆相切时,或,
当与圆相切时,或
又因为到所求的所有的距离都大于半径,故无需考虑圆对形成线段的影响.
故
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