题目内容

【题目】已知.

1)若直线与圆相切,求被圆所截得弦长取最小值时直线的斜率;

2时,表示圆,问是否存在一条直线,使得它和所有的圆都没有公共点?如果存在,求出直线,若不存在,说明理由;

3)若满足不等式和等式的点集是一条线段,求取值范围.

【答案】1;(2)存在,;(3.

【解析】

(1)画出图像分析可得, 直线与直线垂直时被圆所截得弦长取最小值.

再根据垂直的直线斜率之积为-1求解即可.
(2)时代入

,,故猜测存在一条直线,使得它和所有的圆都没有公共点,再证明即可.

(3) 的解集为两条直线, 为两圆之间的部分,数形结合列式求解即可.

(1),

圆心,半径

圆心,半径

因为当被圆所截得弦长取最小值时,圆心到直线的距离最大.

的距离,当且仅当直线与直线垂直时取得为最大值,此时斜率,故直线斜率
(2) 存在,和所有的圆都没有公共点.

证明:由题,

,

变形得

,

有交点,

有解.上式减去倍的下式有:

有解.

即圆与直线有交点,圆半径

但圆心距离 .

故圆与直线无交点.

和所有的圆都没有公共点.

(3)由题得的解集为两条直线,

即为两圆 之间的部分.

又若不等式和等式的点集是一条线段,则需注意临界条件.

与圆相切时,,

与圆相切时,

又因为到所求的所有的距离都大于半径,故无需考虑圆对形成线段的影响.

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