Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，、为椭圆的左、右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆短轴顶点求得；结合，求得点的坐标，根据点的坐标满足椭圆方程，结合，求得，则椭圆方程即可求解；

（2）根据直线斜率是否存在，进行分类讨论；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，求得弦长，求得到直线的距离，即可求得到直线的距离，利用面积公式，结合均值不等式，即可容易求得面积的最值.

（1）设椭圆的方程为，右焦点，

因为为椭圆短轴的一个端点，则.

因为，

故可得，设点坐标为，

即，解得.

则点.

因为点在椭圆上，则，即.

又，则，得，

所以椭圆的标准方程是.

（2）①当直线的斜率不存在时，不

妨取，，，

故；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

，，

联立方程，化简得，

则，

，，

，

点到直线的距离，

因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，

∴，

∵，又，所以等号不成立.

∴，

综上可得，面积的最大值为.