题目内容
（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l：
的距离，若
,求
的值.
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：
（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l：
的距离，若,求的值.（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅱ）
本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义及转化与化归的数学思想，同时考查了学生的运算能力。
（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
,
所以双曲线的方程为
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|
1,因|PM|=2|PN|2, ①
知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|="|PN|+2. " ②
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=
,所以
|PN|=
.
因为双曲线的离心率e=
=2,直线l:x=
是双曲线的右准线，故
=e=2,
所以d=|PN|,因此
解法二：
设P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|22|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=
(舍去
).
有|PM|=2x+1=
d=x-=
.
故
（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=
,所以双曲线的方程为
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|
1,因|PM|=2|PN|2, ①知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|="|PN|+2. " ②
将②代入①，得2||PN|2-|PN|-2=0，解得|PN|=
,所以|PN|=
.因为双曲线的离心率e=
=2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,所以d=
|PN|,因此解法二：
设P（x,y），因|PN|
1知|PM|=2|PN|2
2|PN|>|PN|,故P在双曲线右支上，所以x
1.由双曲线方程有y2=3x2-3.
因此
从而由|PM|=2|PN|2得
2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0.
所以x=
(舍去).有|PM|=2x+1=
d=x-
=.故
练习册系列答案
相关题目
的焦点是
,
,点
在椭圆上且满足
.
与椭圆
，
.
的面积为
的点
为椭圆上任一点，
为坐标原点，
，求
的值.
（
），
，动点
的轨迹为T．
时，已知
、
，试探究是否存在这样的点
：
？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形，（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=－4于点E，点Q分
所成比为λ，点E分
,动点
在双曲线
上运动,且
,求点P的轨迹方程.
的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是（ ）
与抛物线
的焦点重合，过
与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线
．
的最大值和最小值．
：
的两个焦点为
、
，点
在椭圆
，
，
.
过圆
的圆心
，交椭圆
、
两点，且
轴上，左右焦点分别为
，且它们在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等要三角形，若
，双曲线的离心率的取值范围为
，则该椭圆的离心率的取值范围为
。