题目内容

4.在△ABC中,$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$,试用$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$表示△ABC的面积.

分析 由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cosA,可得cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$,sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$,利用S△ABC=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$sinA即可得出.

解答 解:∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cosA,
∴cosA=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$,
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-(\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|})^{2}}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$sinA=$\frac{1}{2}\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}-(\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b})^{2}}$.

点评 本题考查了向量的夹角公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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