Question

（2012•江苏一模）设P为函数y=

x

(x+1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是

[

π

3

，

π

2

）

．

Answer 1

分析：由f′（x）=

3x+1

2 x

=

3

2

x

+

1

2 x

，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为θ的正切值的取值范围，而0≤θ＜π，从而可求θ的取值范围．

解答：解：∵函数y=

x

(x+1)，
∴y′=

3x+1

2 x

=

3

2

x

+

1

2 x

≥2

3 2 x × 1 2 x

=

3

（当且仅当

3

2

x

=

1

2 x

取等号），
∴y′∈[

3

，+∞），
∴tanθ≥

3

，又0≤θ＜π，
∴

π

3

≤θ＜

π

2

．
故答案为：[

π

3

，

π

2

）．

点评：本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题．