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8.椭圆$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1过右焦点有n条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为an,若公差为d$∈[\frac{1}{6},\frac{1}{3}],那么n$的取值集合为(  )
A.{4,5,6,7}B.{4,5,6}C.{3,4,5,6}D.{3,4,5,6,7}

分析 先求出椭圆的a,b,c,根据椭圆方程求得过右焦点的最短弦长和最长弦长,即等差数列的第一项和第n项,再根据等差数列的公差d∈[$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$],求出n的取值集合.

解答 解:椭圆$\frac{4}{25}{x^2}+\frac{y^2}{5}$=1的a=$\frac{5}{2}$,b=$\sqrt{5}$,c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
右焦点为($\frac{\sqrt{5}}{2}$,0),令x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,代入椭圆方程可得y=±$\sqrt{5}$×$\sqrt{1-\frac{4}{25}×\frac{5}{4}}$=±2,
则过右焦点的最短弦的弦长为a1=4,最长弦长为圆的直径长an=5,
∴4+(n-1)d=5,d=$\frac{1}{n-1}$,
∵d∈[$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$],
∴$\frac{1}{6}$≤$\frac{1}{n-1}$≤$\frac{1}{3}$,
∴4≤n≤7,n∈N,
故选:A.

点评 本题考查椭圆的方程和性质,以及等差数列的通项公式等知识,解题时要学会使用椭圆的几何性质解决椭圆的弦长问题,提高解题速度.

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