题目内容
【题目】已知的三个顶点
,
,
,其外接圆为
.对于线段
上的任意一点
,
若在以为圆心的圆上都存在不同的两点
,使得点
是线段
的中点,则
的半径
的取值范围__________.
【答案】
【解析】分析:求出直线的方程设出点P,N的坐标
,结合题意得到点M的坐标,然后根据点
都在半径为
的
上得到关于
的方程组,将方程组有解转化为两圆有公共点处理,进而得到关于
的不等式恒成立,利用函数的知识求得值域后可得故
且
,再利用线段
与圆
无公共点,即直线与圆相离可得
,于是可求得
.
详解:由题意得直线的方程为
.
设点,
∵点是线段
的中点,
∴点的坐标为
.
又都在半径为
的
上,
∴,即
∵关于的方程组有解,即以
为圆心
为半径的圆和以
为圆心
为半径的圆有公共点,
∴,
又
∴对任意的
恒成立.
设,则有
,
故且
.
又线段与圆
无公共点,
∴对任意的
恒成立,
∴.
综上可得,所以
,
即的半径
的取值范围是
.

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