题目内容
【题目】如图所示,在等腰梯形中,
∥
,
,直角梯形
所在的平面垂直于平面
,且
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)点在线段
上,试确定点
的位置,使平面
与平面
所成的二面角的余弦值为
.
【答案】(1)证明见解析;(2)点为线段
中点
【解析】
(1)推导出平面
,
,
,从而
平面
,由此能证明平面
平面
;
(2)以为坐标原点,以
,
所在直线分别为
轴、
轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点
为线段
中点时,平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
解:(1)因为平面平面
,
平面平面
,
,
平面
,所以
平面
,
又平面
,所以
,
在△中,
,
,
,
由余弦定理得,,
所以,所以
.
又,
,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
;
(2)以为坐标原点,以
,
所在直线分别为
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
设,则
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,取
,得
.
设平面的一个法向量为
,
由,得
,
令,得
,
因为平面与平面
所成的二面角的余弦值为
,
所以,
整理得,
解得或
(舍去),
所以点为线段
中点时,平面
与平面
所成的二面角的余弦值为
.
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