题目内容
【题目】已知三棱台的下底面
是边长为2的正三角形,上地面
是边长为1的正三角形.
在下底面的射影为
的重心,且
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)利用线面垂直的判定定理及性质证明,或者建立空间直角坐标系,利用向量的数量积为0证明;
(2)运用综合法求直线与平面所成的角应先确定该平面的垂线,即可求解,或者建立空间直角坐标系,利用空间向量的夹角公式求解.
解法一:(1)证明:记的重心为
,连接
并延长交
于点
.
因为底面为正三角形,则
,
又点在底面上的射影为
,
所以平面
,则
,
因为,所以
平面
,
又平面
,所以
.
又,且
,
所以平面
,
因此,平面
.
(2)由于为棱台,
设三侧棱延长交于一点.
因为,
则,
分别为棱
,
的中点.
又为正
的重心,
则,
,
.
因为平面
,
则,
故在中,
,
由三角形相似,得,
.
取的中点
,连接
,
,
则∥
,且
,
故平面
,
即即为直线
与平面
所成的角.
又,
且,
,
,
所以,
,
又,所以
,
即,
所以,
即直线与平面
所成角的正弦值为
.
解法二:以重心为原点,直线
,
分别为
,
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则,
,
,
设,则
,
,
.
(1)证明:由,
即得
,
即,
故,
又,
所以平面
.
(2)由,
得,
所以.
设平面的法向量为
,
因为,
,
所以有,
令,则
,所以
.
设直线与平面
所成的角为
,
则.
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