题目内容

【题目】F是椭圆的左焦点,过点F且斜率为正的直线与E相交于AB两点,过点AB分别作直线AMBN满足AMlBNl,且直线AMBN分别与x轴相交于MN.试求|MN|的最小值.

【答案】

【解析】

,根据余弦定理,求得,再建立倾斜角和的函数关系,再利用三元不等式即可求得的最小值.

设过椭圆E左焦点F的直线l的倾斜角为,依题意知.

如图所示,设F'为椭圆E的右焦点,RtMAF中,cosMFA=

所以有.

RtNBF中,同理有,所以有:

.

连结BF',在FBF'中,记|BF|=x,则|BF'|=.

由余弦定理知

.

所以有,即.

同理有

由②③知.

由①知.

,则.

根据均值不等式知.

所以

等号成立当且仅当,即.

所以当且仅当时,.

从而当且仅当时,.

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