题目内容
【题目】设F是椭圆的左焦点,过点F且斜率为正的直线与E相交于A、B两点,过点A、B分别作直线AM和BN满足AM⊥l,BN⊥l,且直线AM、BN分别与x轴相交于M和N.试求|MN|的最小值.
【答案】
【解析】
设,根据余弦定理,求得
,再建立倾斜角和
的函数关系,再利用三元不等式即可求得
的最小值.
设过椭圆E左焦点F的直线l的倾斜角为,依题意知
.
如图所示,设F'为椭圆E的右焦点,Rt△MAF中,cos∠MFA=,
所以有.
在Rt△NBF中,同理有,所以有:
. ①
连结BF',在△FBF'中,记|BF|=x,则|BF'|=.
由余弦定理知,
即.
所以有,即
. ②
同理有 ③
由②③知.
由①知.
令,则
.
根据均值不等式知.
所以,
等号成立当且仅当,即
.
所以当且仅当时,
.
从而当且仅当时,
.

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