题目内容
【题目】已知函数,对于函数
有下述四个结论:①函数
在其定义域上为增函数;②对于任意的
,
,都有
成立;③
有且仅有两个零点;④若
,则
在点
处的切线与
在点
处的切线为同一直线.其中所有正确的结论有( )
A.①②③B.①③C.②③④D.③④
【答案】C
【解析】
(1)分别求即可判定(1)错误.
(2)分别计算判断是否等于
即可.
(3)数形结合分析函数与
的交点个数即可.
(4)分别根据导数的几何意义求解在点
处的切线与
在点
处的切线方程,再根据
判定即可.
(1) 的定义域为
.
因为,
.
所以,所以
在其定义域上不为增函数.故(1)错误.
(2)因为,
.所以
.
所以.故(2)正确.
(3) 的零点即
的解的个数,即函数
与
的交点个数.画出图像可知,有两个交点,故(3)正确.
(4)对于函数,因为
,所以
,所以
在点
处的切线方程为
,即
.
对于函数,
,所以
,
所以在
处的切线方程为
,
即.因为
,即
,其中
且
,
所以,
.
所以.所以两条切线为同一直线.故(4)正确.
故选:C
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