Question

2．已知y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x²-2x
（1）求f（1），f（-2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）讨论方程f（x）=k的根的情况．（只需写出结果，不要解答过程）．

Answer 1

分析 （1）由函数为偶函数可知f（-2）=f（2），根据已知条件易求出f（1），f（2）；
（2）利用函数的奇偶性易求出函数的解析式，并画出图象；
（3）方程f（x）=k的根的情况就是函数y=f（x）的图象与函数y=k的图象的交点的情况，由图象易分析出交点的个数，得到问题的解．

解答 解：（1）f（1）=1²-2•1=-1．
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-2）=f（2）=2²-2•2=0…（3分）
（2）当x≤0时，-x≥0，于是f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x
∵y=f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=x²+2x（x≤0）
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x（x＞0）}\\{{x^2}+2x（x≤0）}\end{array}}\right.$…（8分）
画出简图（如图） 

（3）当k＜-1，方程无实根
当k=-1或k＞0，有2个实数根；
当k=0，有3个实数根；
当-1＜k＜0，有4个实数根…（12分）

点评 本题考查函数的性质与应用，考查函数的解析式，考查数形结合的数学思想，属于中档题．