题目内容
14.将${({1-\frac{1}{x^2}})^n}$(n∈N+)的展开式中x-4的系数记为an,则$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=$\frac{4028}{2015}$.分析 由题意根据二项展开式的通项公式求得an=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n(n-1)}{2}$,再用裂项法求和求得$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]的值.
解答 解:将${({1-\frac{1}{x^2}})^n}$(n∈N+)的展开式中x-4的系数记为an,则an=${C}_{n}^{2}$=$\frac{n(n-1)}{2}$,
∴$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}}}$=2[1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$]=$\frac{4028}{2015}$,
故答案为:$\frac{4028}{2015}$.
点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
练习册系列答案
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A. | 2π | B. | 3π | C. | 4π | D. | 5π |