题目内容
7．若正数m，n满足m+3n=5mn，则3m+4n的最小值为（ ）| A． | $\frac{24}{5}$ | B． | $\frac{28}{5}$ | C． | 6 | D． | 5 |
分析 原式可化为$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，可得3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$，由基本不等式可得．
解答 解：∵正数m，n满足m+3n=5mn，
∴$\frac{m+3n}{5mn}$=1，即$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$=1，
∴3m+4n=（3m+4n）（$\frac{1}{5n}$+$\frac{3}{5m}$）
=$\frac{3m}{5n}$+$\frac{9}{5}$+$\frac{4}{5}$+$\frac{12n}{5m}$≥$\frac{13}{5}$+2$\sqrt{\frac{3m}{5n}•\frac{12n}{5m}}$=5，
当且仅当$\frac{3m}{5n}$=$\frac{12n}{5m}$即m=1且n=$\frac{1}{2}$时取等号，
故选：D．
点评 本题考查基本不等式求最值，“1”的代换是解决问题的关键，属基础题．
练习册系列答案
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15．
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已知|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$，如图所示，若$\overrightarrow{AB}$=5$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，且D为BC中点，则$\overrightarrow{AD}$的长度为（ ）| A． | $\frac{15}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{15}}{2}$ | C． | 7 | D． | 8 |
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