Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知底面ABC是边长为a的正三角形，侧棱AA₁=a，点D，E，F，O分别为边AB，A₁C，AA₁，BC的中点，A₁O⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：线段DE∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：FO⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵E为A₁C的中点，
∴E也为AC₁的中点，
又∵D为AB的中点，…（2分）
∴DE∥BC₁，…（4分）
又∵DE?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C
∴DE∥平面BB₁C₁C． …（6分）
（Ⅱ）因为△ABC是边长这a的正三角形，所以AO=a．
又A₁O⊥底面ABC，AO?底面ABC，
所以A₁O⊥AO，…（8分）
又AA₁=a，所以A₁O=AO=a．
又F为AA₁的中点，所以OF⊥AA₁，
又∵BB₁∥AA₁，
∴OF⊥BB₁． …（10分）
又BC⊥AO，BC⊥A₁O，AO∩A₁O=0，AO，A₁O?平面AOA₁，
∴BC⊥平面AOA₁，
又∵FO?平面AOA₁，
∴BC⊥FO，…（12分）
又∵BC∩BB₁=B，BC，BB₁?平面BB₁C₁C
所以FO⊥平面BB₁C₁C． …（14分）
分析：（I）根据平行四边形对角线互相平分可得E也为AC₁的中点，由中位线定理可得DE∥BC₁，再由线面平行的判定定理可得线段DE∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）由A₁O⊥底面ABC可得A₁O⊥AO，求出A₁O，AO长，可由等腰三角形三线合一得到OF⊥AA₁，即OF⊥BB₁．由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOA₁，即BC⊥FO，再由线面垂直的判定定理可得FO⊥平面BB₁C₁C．
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的判定定理是解答的关键．