题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
∥
，
，
，平面
平面，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）根据平面与平面垂直的性质，结合线面垂直性质即可判定
；
（2）取
中点O，连接
，
，可证明
，进而建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面
和平面
的法向量，即可由空间向量法求得二面角
的余弦值.
（1）证明：在四棱锥
中，
因为平面
平面
，平面
平面
，
又因为
，
平面，
所以
平面，
因为
平面，
所以.
（2）取中点O，连接，，
因为
，所以
.
因为平面平面，平面平面，
因为
平面，所以
平面，所以
，
.
因为，
，
，所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，所以.
如图建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
.
，
.
设平面的法向量为
，则
即
令
，则
，
，所以
.
因为平面的法向量
，
所以
由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
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【题目】“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
男性 | 女性 | 总计 | |
刷脸支付 | 18 | 25 | |
非刷脸支付 | 13 | ||
总计 | 50 |
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？
（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券
张（
，且
），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为
元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.869 |
