Question

1．已知椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，原点O到椭圆E的右顶点与上顶点所在直线的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过椭圆E右焦点F的直线l与椭圆E相交于M，N两点（M，N均在y轴右侧），点A（0，2）、B（0，-2），设A，B，M，N四点构成的四边形的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由题意可得$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$与$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{8}{3}$；联立两个式子，解可得a²与b²的值，代入椭圆的方程可得答案；
（2）由（Ⅰ）可得，A、B恰好是椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上下两个端点，如图，连接OM、ON，设直线MN方程为x=my+2，结合图形可得-1＜m＜1，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+2）y²+4my-4=0，由韦达定理可得|y₁-y₂|的表达式，又由于S=S_△OAM+S_△OBN+S_△OMN，可以将S用m表示出来，令t=m²+1，则1≤t＜2，则S=$\frac{4\sqrt{2}t+8}{{t}^{2}+1}$，
对S求导可得S′＜0，可得面积函数在[1，2）上单调递减，结合t的范围即可得S的范围．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，有e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，①
又由于原点O到椭圆E的右顶点与上顶点所在直线的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，则有$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，②
联立①②可得：a²=8，b²=4，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，A、B恰好是椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的上下两个端点，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
如图，连接OM、ON，设直线MN方程为x=my+2，
由于M，N均在y轴右侧，则有K_AF＜m＜K_BF，即-1＜m＜1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+2）y²+4my-4=0，
则y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{4}{{m}^{2}+2}$，
则|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{4m}{{m}^{2}+2}）^{2}+\frac{16}{{m}^{2}+2}}$=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$；
由于M，N均在y轴右侧，则x₁＞0，x₂＞0，
则S=S_△OAM+S_△OBN+S_△OMN=$\frac{1}{2}$×2（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}$×2|y₁-y₂|=m（y₁+y₂）+4+|y₁-y₂|
=-$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$+4+$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+2}$=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}+8}{{m}^{2}+2}$，
即S=$\frac{4\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}+1}+8}{{m}^{2}+2}$，令t=m²+1，则1≤t＜2，则S=$\frac{4\sqrt{2}t+8}{{t}^{2}+1}$，
则S′=$\frac{-4\sqrt{2}{t}^{2}-16t+4\sqrt{2}}{（{t}^{2}+1）^{2}}$=-$\frac{4\sqrt{2}（{t}^{2}+2\sqrt{2}t-1）}{（{t}^{2}+1）^{2}}$＜0，故面积函数在[1，2）单调递减，
又由1≤t＜2，则$\frac{16}{3}$＜S≤2$\sqrt{2}$+4，
所以所以面积S的取值范围是（$\frac{16}{3}$，2$\sqrt{2}$+4]．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力．