题目内容
11.已知a,b为正数,且直线x-(2b-3)y+6=0与直线2bx+ay-5=0互相垂直,则2a+3b的最小值为$\frac{25}{2}$.分析 由直线垂直可得ab的式子,变形可得$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$=1,进而可得(2a+3b)=(2a+3b)($\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$)由基本不等式求最值可得.
解答 解:∵直线x-(2b-3)y+6=0与直线2bx+ay-5=0互相垂直,
∴2b-(2b-3)a=0,
∴3a+2b=2ab,两边同除以ab可得$\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$=1,
∵a,b都是正实数,
∴2a+3b=(2a+3b)($\frac{3}{2b}$+$\frac{1}{a}$)=2+$\frac{9}{2}$+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{3a}{b}}$=$\frac{13}{2}$+6=$\frac{25}{2}$,当且仅当$\frac{3b}{a}$=$\frac{3a}{b}$即a=b=$\frac{5}{2}$时,上式取到最小值$\frac{25}{2}$,
故答案为:$\frac{25}{2}$.
点评 本题考查直线的一般式方程和垂直关系,涉及基本不等式求最值,属中档题.
练习册系列答案
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A. | [$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$] | B. | [0,$\frac{1}{3}$] | C. | [0,$\frac{1}{3}$) | D. | [$\frac{1}{6}$,$\frac{1}{3}$) |