题目内容
16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3a-1}{x-2}，x＜1}\\{-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1}\end{array}\right.$是定义在（-∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（ ）| A． | [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$] | B． | [0，$\frac{1}{3}$] | C． | [0，$\frac{1}{3}$） | D． | [$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$） |
分析 由题意根据函数的单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＞0}\\{1-a≤1}\end{array}\right.$，解得即可．
解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x-3a-1}{x-2}，x＜1}\\{-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}1+\frac{1-3a}{x-2}，x＜1\\-{x}^{2}-2（a-1）x-\frac{1}{6}，x≥1\end{array}\right.$是定义在（-∞，+∞）上是减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3a＞0}\\{1-a≤1}\end{array}\right.$，
解得0≤a＜$\frac{1}{3}$，
故选：C．
点评 本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．
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