题目内容
【题目】在如图所示的多面体中,底面四边形
是菱形,
,
,
相交于
,
,
在平面
上的射影恰好是线段
的中点
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)若直线与平面
所成的角为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)证明线面垂直先证明线线垂直,EH⊥BD,AC⊥BD,∴BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF;(2)建立空间坐标系,求两个平面的法向量,根据向量夹角的求法得到面面角.
解析:
(Ⅰ)取AO的中点H,连结EH,则EH⊥平面ABCD
∵BD在平面ABCD内,∴EH⊥BD
又菱形ABCD中,AC⊥BD 且EH∩AC=H,EH、AC在平面EACF内
∴BD⊥平面EACF,即BD⊥平面ACF
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EH⊥平面ABCD,以H为原点,如图所示建立空间直角坐标系H﹣xyz
∵EH⊥平面ABCD,∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角,
即∠EAH=45°,又菱形ABCD的边长为4,则
各点坐标分别为,
E(0,0,)
易知为平面ABCD的一个法向量,记
=
,
=
,
=
∵EF∥AC,∴=
设平面DEF的一个法向量为(注意:此处
可以用
替代)
即 =
,
令,则,∴
∴
平面DEF与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值为.
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