题目内容
【题目】【2018届北京市海淀区】如图,三棱柱侧面
底面
,
,
分别为棱
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求三棱柱的体积;
(Ⅲ)在直线上是否存在一点
,使得
平面
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)在直线
上存在点
,使得
平面
,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题目中的侧面底面
,
由条件知
底面
,
;(3)连接
并延长,与
的延长线相交,设交点为
,证线线平行即
,进而得到线面平行。
解析:
(Ⅰ)证明:三棱柱中,
侧面底面
,
,
又因为侧面底面
,
底面
,
所以平面
,又因为
平面
,
所以;
(Ⅱ)连接 ,因为三棱柱
中,所以
.
因为,所以
.又因为
,且
.
所以△是边长为2的正三角形.因为
是棱
的中点,所以
,
又因为,
,所以
.
因为,
底面
,
所以底面
.所以三棱柱
的体积为
;
(Ⅲ)在直线上存在点
,使得
平面
.
证明如下:连接并延长,与
的延长线相交,设交点为
.连接
.
因为,所以
,故
由于为棱
的中点,所以
,故有
又为棱
的中点,故
为
的中位线,所以
.
又平面
,
平面
,所以
平面
.
故在直线上存在点
,使得
平面
.
此时,
.
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,
,样本数据
,
,…,
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