题目内容
【题目】为了丰富学生活动,在体育课上,体育教师设计了一个游戏,让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端,甲站在直角斜边
的中点
处,乙站在
处,丙站在
处.游戏开始,甲不动,乙、丙分别以
和
的速度同时出发,匀速跑向终点
和
,运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的
.(规定:只要有一人跑到终点,游戏就结束,且
).已知
长为
,
长为
,记经过
后
的面积为
.
(1)求关于
的函数表示,并求出
的取值范围;
(2)当游戏进行到时,体育教师宣布停止,求此时
的最小值.
【答案】(1),其中
时,
,
时,
.(2)
最小值为
【解析】
(1)求出路程,从而可得
,由勾股定理得
,以
为
轴建立平面直角坐标系,可得直线
的方程,求出
到直线
的距离,即
的高,从而可表示出其面积.计算两人分别走到
所用时间
,比较它们的大小,可得
的取值范围.
(2)由(1)得,利用导数求出其最小值.
解:以为坐标原点,
分别以、
为
、
轴建立直角坐标系,
,则
,
,则
,
为
中点,则
,
秒后
,
,
,
,
直线方程为:
,
,
到
距离
,
∴,
,即
,则
,
,即
,则
,
,
当时,
,
当时,
,
∴,
其中时,
,
时,
.
(2)∵,
∴,
,
令得
,
当时,
,
为单调递减,
当时,
,
为单调递增,
∴当时
取最小值,
此时,
答:此时最小值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年9月支付宝宣布在肯德基的KPRO餐厅上线刷脸支付,也即用户可以不用手机,单单通过刷脸就可以完成支付宝支付,这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机抽查了每月用支付宝消费金额不超过3000元的男女顾客各300人,调查了他们的支付宝使用情况,得到如下频率分布直方图:
若每月利用支付宝支付金额超过2千元的顾客被称为“支付宝达人”, 利用支付宝支付金额不超过2千元的顾客称为“非支付宝达人”.
(I)若抽取的“支付宝达人”中女性占120人,请根据条件完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“支付宝达人”与性别有关.
(II)支付宝公司为了进一步了解这600人的支付宝使用体验情况和建议,从“非支付宝达人” “支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取8人.若需从这8人中随机选取2人进行问卷调查,求至少有1人是“支付宝达人”的概率.
附:参考公式与参考数据如下
,其中
.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |