题目内容
【题目】在直角坐标系中,点
,
是曲线
上的任意一点,动点
满足
(1)求点的轨迹方程;
(2)经过点的动直线
与点
的轨迹方程交于
两点,在
轴上是否存在定点
(异于点
),使得
?若存在,求出
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点
符合题意.
【解析】
(1)设,
,利用相关点代入法得到点
的轨迹方程;
(2)设存在点,使得
,则
,因为直线l的倾斜角不可能为
,故设直线l的方程为
,利用斜率和为0,求得
,从而得到定点坐标.
(1)设,
,
则,
,
.
又,则
即
因为点N为曲线上的任意一点,
所以,
所以,整理得
,
故点C的轨迹方程为.
(2)设存在点,使得
,所以
.由题易知,直线l的倾斜角不可能为
,故设直线l的方程为
,
将代入
,得
.设
,
,则
,
.因为
,所以
,即
,所以
.故存在点
,使得
.
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