Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若函数与图象在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数的增区间为，减区间；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域和导数，然后分别解不等式和可得出函数的增区间和减区间；

（Ⅱ）令得出，问题转化为：当直线与函数在区间上的图象有两个交点时，求实数的取值范围，并利用导数分析函数在区间上的单调性、极值和端点函数值，利用数形结合思想可得出实数的取值范围，即可求出实数的取值范围.

（Ⅰ）当时，，定义域为，

且.

令，即，解得；

令，即，解得.

因此，函数的增区间为，减区间；

（Ⅱ）由已知得：在有两个不相等的实数根.

令，，由得.

当时，，此时，函数为减函数；

当时，，此时，函数为增函数.

所以，函数在处取得极小值，

又，且，

当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，，

因此，实数的取值范围是.