题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的单调区间;
(Ⅱ)若函数与
图象在
上有两个不同的交点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)函数的增区间为
,减区间
;(Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)将代入函数
的解析式,求出该函数的定义域和导数
,然后分别解不等式
和
可得出函数
的增区间和减区间;
(Ⅱ)令得出
,问题转化为:当直线
与函数
在区间
上的图象有两个交点时,求实数
的取值范围,并利用导数分析函数
在区间
上的单调性、极值和端点函数值,利用数形结合思想可得出实数
的取值范围,即可求出实数
的取值范围.
(Ⅰ)当时,
,定义域为
,
且.
令,即
,解得
;
令,即
,解得
.
因此,函数的增区间为
,减区间
;
(Ⅱ)由已知得:在
有两个不相等的实数根.
令,
,由
得
.
当时,
,此时,函数
为减函数;
当时,
,此时,函数
为增函数.
所以,函数在
处取得极小值
,
又,
且
,
当时,直线
与函数
在区间
上的图象有两个交点,
,
因此,实数的取值范围是
.

【题目】假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用
(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料:
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图;
(2)求关于
的线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式:
【题目】假设关于某设备的使用年限(年)和所支出的年平均维修费用
(万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料:
使用年限 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用 | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图;
(2)求关于
的线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?
参考公式:
【题目】按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内,则为合格品,否则为不合格品.某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测.表1是甲套设备的样本频数分布表,图1是乙套设备的样本频率分布直方图.
质量指标值 | [95,100) | [100,105) | [105,110) | [110,115) | [115,120) | [120,125] |
频数 | 1 | 4 | 19 | 20 | 5 | 1 |
表1:甲套设备的样本频数分布表
(1)将频率视为概率,若乙套设备生产了5000件产品,则其中合格品约有多少件?
(2)填写下面2×2列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关:
甲套设备 | 乙套设备 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
(3)根据表和图,对甲、乙两套设备的优劣进行比较.参考公式及数据:x2=
P(Х2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 |