题目内容

【题目】已知函数,(为常数,为自然对数的底数).

1)当时,讨论函数在区间上极值点的个数;

2)当时,对任意的都有成立,求正实数的取值范围.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)当时,,记,利用导数研究函数值的情况,将在区间上极值点的个数转化为根的个数问题,分类讨论即可得到;

2)当时,对任意的都有,即,即,记,利用导数分别研究的最值,即可得到答案.

1)当时,,记

时,时,

所以当时,取得极小值,又

,即时,,函数在区间上无极值点;

时,有两不同解,

函数在区间上有两个极值点;

时,有一解,

函数在区间上有一个极值点;

时,,函数在区间上无极值点.

2)当时,对任意的都有

,即

,当,当时,

所以当时,取得最大值,最大值为

,当时,,当时,

所以当时,取得最小值,所以只需要,即正实数的取值范围是.

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