题目内容
(本题满分16分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分10分.
已知两点
、
,点
是直角坐标平面上的动点,若将点
的横坐标保持不变、纵坐标扩大到
倍后得到点
满足
.
(1) 求动点
所在曲线
的轨迹方程;
(2)(理科)过点
作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
,又点
关于原点O的对称点为点
,试问四点
是否共圆,若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.
(文科)过点
作斜率为
的直线
交曲线
于
两点,且满足
(O为坐标原点),试判断点
是否在曲线
上,并说明理由.
已知两点







(1) 求动点


(2)(理科)过点









(文科)过点








解(1)依据题意,有
.
∵
,
∴
.
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是
.
(2)(理科)因直线
过点
,且斜率为
,
故有
.联立方程组
,得
.
设两曲线的交点为
、
,可算得
.
又
,点
与点
关于原点对称,
于是,可得点
、
.
若线段
、
的中垂线分别为
和
,则有
,
.
联立方程组
,解得
和
的交点为
.
因此,可算得
,
.
所以,四点
共圆,圆心坐标为
,半径为
.

∵

∴

∴动点P所在曲线C的轨迹方程是

(2)(理科)因直线



故有



设两曲线的交点为



又



于是,可得点


若线段






联立方程组




因此,可算得


所以,四点



略

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