题目内容
【题目】定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的x,y,有
,f(1)=2,且
.
(1)求f(0)的值;
(2)求证:对任意x,都有f(x)>0;
(3)解不等式f(32x)>4.
【答案】(1) f(0)=1.(2)证明见解析;(3)
【解析】
(1)利用赋值法,先令以及令
,由此解得
的值.(2)首先利用
结合已知条件证得
,再利用反证法,证得
,由此证得
成立.(3)利用赋值法,将
转化为
,通过证明函数
为
上的增函数,由求得不等式的解集.
(1)对任意,
.
令x=y=0,得f(0)=f(0)·f(0),即f(0)·[f(0)1]=0.
令y=0,得f(x)=f(x)·f(0),对任意x成立,
所以f(0)≠0,因此f(0)=1.
(2)证明:对任意x,有
.
假设存在x0,使f(x0)=0,
则对任意x>0,有f(x)=f[(xx0)+x0]=f(x
x0)·f(x0)=0.
这与已知x>0时,f(x)>1矛盾.所以,对任意x,均有f(x)>0成立.
(3)令x=y=1有f(11)=f(1)·f(1),
所以f(2)=2×2=4.任取x1,x2,且x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=f[(x2x1)+x1]
f(x1)=f(x2
x1)·f(x1)
f(x1)=f(x1)·[f(x2
x1)
1].
∵x1<x2,∴x2x1>0,由已知f(x2
x1)>1,∴f(x2
x1)
1>0.
由(2)知x1,f(x1)>0.所以f(x2)
f(x1)>0,即f(x1)<f(x2).
故函数f(x)在上是增函数.
由f(32x)>4,得f(3
2x)>f(2),即3
2x>2.解得x<
.
所以,不等式的解集是 .
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