题目内容
14．已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1，数列{bn}满足bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$（1）证明：数列{bn}是等差数列
（2）求数列{bn}的通项公式
（3）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1，当n=1时，可得a1．当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，即可证明；
（2）由（1）与等差数列的通项公式可得：bn．
（3）由（1）（2）可得：bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，即可得出an．
解答 （1）证明：∵数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1，
∴当n=1时，${a}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，解得a1=4．
当n≥2时，${S}_{n-1}=2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，
an=2an-2an-1-2n，
化为${a}_{n}-2{a}_{n-1}={2}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴bn-bn-1=1，
∴数列{bn}是等差数列，首项为2，公差为1．
（2）解：由（1）可得：bn=2+（n-1）=n+1．
（3）解：由（1）（2）可得：bn=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n+1，
∴an=（n+1）•2n．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
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口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案
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