Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-f′（2）x，g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，令x=2，求出f′（2）的值即可．
（2）构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的极值和最值即可得到结论．

解答 解：（1）函数的导数为f′（x）=x-f′（2），
令x=2，则f′（2）=2-f′（2），解得f′（2）=1，
即f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x．
（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a，
即$\frac{1}{2}$x²-x+lnx-$\frac{1}{2}$x²=lnx-x≤a恒成立，
设h（x）=lnx-x，
则函数的f（x）的导数h′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
由h′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数递增，
由h′（x）＜0，得x＞1，此时函数递减，
即当x=1是，函数h（x）取得极大值，同时也是最大值h（1）=ln1-1=-1，
故a≥-1．

点评 本题主要考查导数的计算，以及利用导数研究函数的最值．