Question

【题目】把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C，其中D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B1F⊥平面AEF；
（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设AB的中点为G，连接DG，CG

∵D是A1B的中点

∴DG∥A1A且DG=

∵E是C1C的中点

∴CE∥A1A且CE= ，

∴CE∥DG且CE=DG

∴CEDG是平行四边形，

∴DE∥GC

∵DE平面ABC，GC平面ABC，

∴DE∥平面ABC

（2）解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点

∴AF⊥BC

∵平面ABC⊥平面BCC1B1

∴AF⊥平面BCC1B1

∴AF⊥B1F

设AB=AA1=2，则在B1FE中， ，

则 ，B1E=3

∴

∴△B1FE是直角三角形，

∴B1F⊥EF

∵AF∩EF=F

∴B1F⊥平面AEF

（3）解：分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立空间直角

坐标系A﹣xyz如图，

设AB=AA1=2，则

设A（0，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）

∵AF⊥平面BCC1B1，

∴面B1FE的法向量为 =（1，1，0），

设平面AB1E的法向量为 ，

∵ ，

∴ ， ，

∴2y+z=0，，x+z=0，

不妨设z=﹣2，可得

∴ =

∵二面角A﹣EB1﹣F是锐角，

∴二面角A﹣EB1﹣F的大小45°

【解析】（1）取AB的中点为G，连接DG，CG；根据条件可以得到CEDG是平行四边形即可得到结论；（2）直接把问题转化为证明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；（3）先建立空间直角坐标系，求出两个半平面的法向量，再代入向量的夹角计算公式即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．