Question

【题目】四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=2，AD=4，PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成30°角，E是PD的中点．
（1）点H在AC上且EH⊥AC，求 的坐标；
（2）求AE与平面PCD所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．

则由条件知，A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0）．

由PA⊥底面ABCD，知PD与底面ABCD成30°角．

∴PA= ，则E（0，2， ），

∴ ．

设H（m，m，0），则 ．

由EH⊥AC得，2m+2（m﹣2）+0=0，解得m=1．

∴所求

（2）解：由（1）得， ，而P（0，0， ），

∴ ， ．

记平面PCD的一个法向量为 ，则2x+2y﹣ 且4y﹣ ．

取z= ，得x=y=1，∴ ．

则cos＜ ＞= ．

设AE与平面PCD所成角为θ，则sinθ= ，

则所求的余弦值为 ．

【解析】（1）以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．得到所用点的坐标，设出H的坐标，结合EH⊥AC即可求得 的坐标；（2）求出向量 的坐标，进一步求得平面PCD的一个法向量，由 与平面法向量所成角的余弦值可得AE与平面PCD所成角的正弦值，进一步得到余弦值．
【考点精析】关于本题考查的空间角的异面直线所成的角，需要了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能得出正确答案．