Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时， 取极大值，当时， 取极小值.（2）

【解析】试题分析：(1)求出的导数,判断单调区间,可得极值;
(2)根据题意可得，分， 和 三种情况，讨论函数的增减情况，判断函数的零点个数.

试题解析：

（1）函数定义域为，

.

解得---1分

列表：

	+	0	_	0	+
		极大值		极小值

所以时， 取极大值，当时， 取极小值.

（2）

当时，易知函数f(x)只有一个零点，不符合题意； 当时，在上， 单调递减；

在上， 单调递增；

，且

所以函数有两个零点.

当时，在和上单调递增；在和上单调递减；

，函数至多有一个零点，不符合题意.

当时，在和上单调递增；在上单调递减；

，函数至多有一个零点，不符合题意.

综上：实数a的取值范围是.

点睛:导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．