题目内容

【题目】已知函数 .
(I)若曲线 存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;
(II)求 的单调区间;
(III)设函数 ,求证:当 时, 上存在极小值.

【答案】解:(I)由 .
由已知曲线 存在斜率为-1的切线,所以 存在大于零的实数根,
存在大于零的实数根,因为 时单调递增,
所以实数a的取值范围 .
(II)由 可得
时, ,所以函数 的增区间为
时,若 ,若
所以此时函数 的增区间为 ,减区间为 .
(III)由 及题设得
可得 ,由(II)可知函数 上递增,
所以 ,取 ,显然
,所以存在 满足 ,即存在 满足 ,所以 在区间(1,+∞)上的情况如下:

0

+

极小


所以当-1<a<0时,g(x)在(1,+∞)上存在极小值.
【解析】(1)由已知曲线 y = f ( x ) 存在斜率为-1的切线,等价于 f ' ( x ) = 1 存在大于零的实数根,结合二次方程实根的分布求a的范围;
(2)先对函数求导,对参数a的取值分类讨论得到函数的单调区间;
(3)要证g ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上存在极小值,则g'(x)在对应区间中有异号零点,根据(2)的结论求得a的范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案.

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