Question

【题目】若函数在上存在唯一的满足, 那么称函数是上的“单值函数”.已知函数是上的“单值函数”，当实数取最小值时，函数在上恰好有两点零点，则实数的取值范围是___________．

Answer 1

【答案】

【解析】由题意可知，
在区间[0，a]存在唯一的x（0≤x≤a），
满足∵f（x）=x3-x2+m，
∴f′（x）=3x2-2x，
∴方程3x2-2x=a2-a在区间[0，a]有且只有一个解．
令g（x）=3x2-2x-a2+a，（0≤x≤a），
∴△=0或g（0）g（a）≤0，
即为3a2-3a+1=0或（a-a2）（2a2-a）≤0 即a∈或a≥1，
解得a≥1，
当实数a取最小值1时，函数f（x）在[0，1]上恰有两个零点，
即为x3-x2+m=0，即-m=x3-x2，
令h（x）=x3-x2，h′（x）=3x2-2x，
当0＜x＜ 时，h（x）递减，当＜x＜1时，h（x）递增，
可得h（x）的最小值为h=-, h（0）=0，h（1）=0，
则h（x）的最大值为0,则-＜-m≤0解得0≤m＜

故答案为