Question

8．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为a的正三角形，且A在面SBC上的射影H是△SBC的垂心，又二面角H-AB-C为30°，则三棱锥S-ABC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$，三棱锥S-ABC的外接球半径为$\frac{2a}{3}$．

Answer 1

分析 如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE．由H是△SBC的垂心，可得BE⊥SC，由AH⊥平面SBC，可得SC⊥平面ABE，得到AB⊥SC，设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，可得AB⊥平面SCO，CO⊥AB，同理BO⊥AC，可得O是△ABC的垂心，由△ABC是正三角形．可得S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．可得三棱锥S-ABC为正三棱锥．进而得到∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，可得SO，即可得出三棱锥S-ABC的体积．设M为三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为R，则点M在SO上．在Rt△OCM中，利用勾股定理可得：${R}^{2}=（R-a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，解出即可．

解答 解：如图，AH⊥面SBC，设BH交SC于E，连接AE．
∵H是△SBC的垂心，
∴BE⊥SC，
∵AH⊥平面SBC，SC⊆平面SBC，
∴AH⊥SC，又BE∩AH=H
∴SC⊥平面ABE，
∵AB⊆平面ABE，
∴AB⊥SC，
设S在底面ABC内的射影为O，则SO⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，
∴AB⊥SO，又SC∩SO=S，
∴AB⊥平面SCO，
∵CO?平面SCO，
∴CO⊥AB，同理BO⊥AC，
可得O是△ABC的垂心，
∵△ABC是正三角形．
∴S在底面△ABC的射影O是△ABC的中心．
∴三棱锥S-ABC为正三棱锥．
由有SA=SB=SC，
延长CO交AB于F，连接EF，
∵CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，
∴EF⊥AB，
∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，∠EFC=30°，
∵SC⊥平面ABE，EF?平面ABE，
∴EF⊥SC，Rt△EFC中，∠ECF=60°，
可得Rt△SOC中，OC=$\frac{2}{3}CF$=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
SO=OCtan60°=a，
V_S-ABC=$\frac{1}{3}SO•{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$．
设M为三棱锥S-ABC的外接球的球心，半径为R，则点M在SO上．
在Rt△OCM中，MC²=OM²+OC²，
∴${R}^{2}=（R-a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}$，
解得R=$\frac{2a}{3}$．
故答案分别为：$\frac{\sqrt{3}}{12}{a}^{3}$，$\frac{2a}{3}$．

点评 本题考查了线面面面与垂直的判定定理与性质定理、二面角的定义及其作法、正三棱锥、直角三角形的边角关系、三棱锥的体积计算公式、三角形垂心的性质、勾股定理、三棱锥外接球的半径，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．