题目内容
18．
为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某校数学老师分别用两种不同的教学方式对入学时数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个班级进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学中至少有一名被抽中的概率：
（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断是否有99%把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
| 甲班 | 乙班 | 合计 | |
| 优秀 | |||
| 不优秀 | |||
| 合计 |
| P（x2≥k） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.79 | 10.828 |
分析 （1）先求得甲班数学成绩不低于80分的同学人数及成绩为87分的同学人数，利用排列组合求得基本事件的个数，利用古典概型的概率公式计算；
（2）根据茎叶图分别求出甲、乙班优秀的人数与不优秀的人数，列出列联表，利用相关指数公式计算K2的观测值，比较与临界值的大小，判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度．
解答 解：（1）记成绩为87分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C、D、E，“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）（C，D）（C，E）（D，E）共10个，…（2分）
“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有：
（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（B，C）（B，D）（B，E）一共7个，…（4分）
所以所求事件的概率是P=$\frac{7}{10}$．…（5分）
（2）
| 甲班 | 乙班 | 合计 | |
| 优秀 | 6 | 14 | 20 |
| 不优秀 | 14 | 6 | 20 |
| 合计 | 20 | 20 | 40 |
Χ2=$\frac{{40×{{（6×6-14×14）}^2}}}{20×20×20×20}$=6.400＜6.635…（10分）
因此，我们没有99%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．…（12分）
点评 本题考查了由茎叶图求分类变量的列联表，及根据列联表计算相关指数K2的观测值，考查了古典概型的概率计算，综合性强，计算要细心，由公式计算相关指数K2的观测值并由观测值判断成绩优秀与教学方式有关的可靠性程度是解题的关键．
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（1）用分层抽样的方法在缴费100～500元之间的居民中随机抽取6人，则年龄在20～39岁之间应抽取几人？（2）在缴费100～500元之间抽取的6人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40～59岁之间的概率．
| 100～500元 | 600～1000元 | 总计 | |
| 20～39岁 | 12 | 9 | 31 |
| 40～59岁 | 24 | 17 | 41 |
| 总计 | 36 | 36 | 72 |
7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2，则a32-a22的值为（ ）
| A． | 9 | B． | 16 | C． | 21 | D． | 11 |