题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面是正方形,且,平面 平面,点为线段的中点,点是线段上的一个动点.

(Ⅰ)求证:平面 平面

(Ⅱ)设二面角的平面角为,试判断在线段上是否存在这样的点,使得,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立;

(Ⅱ)先证明两两垂直,再以为原点,以所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,用表示出平面的法向量,进而表示出,由,即可得出结果.

解:(Ⅰ) 四边形是正方形,∴.

∵平面 平面平面平面,∴平面.

平面,∴.

,点为线段的中点,∴.

又∵,∴平面.

又∵平面,∴平面 平面.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,∵,∴平面.

在平面内过于点

,故两两垂直,以为原点,

所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系.

因为,∴.

平面, 则

的中点,

假设在线段上存在这样的点,使得,设

设平面的法向量为, 则

,令,则,则

平面平面的一个法向量,,则

.

,解得,∴

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