题目内容
【题目】已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形
为边长为
的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱
上,满足
,
,点
在棱
上,且
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】试题分析:第一问取中点
,根据等腰三角形的性质求得
,根据题中所给的边长,利用勾股定理求得
,利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果;第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系,写出相应的点的坐标,求得面的法向量,利用法向量所成角的余弦值得出结果;第三问利用向量间的关系,利用向量垂直的条件,利用向量的数量积等于0,得出所求的比值
与
的关系式,利用函数的有关知识求得结果.
(Ⅰ)方法1:
设的中点为
,连接
,
. 由题意
,
,
因为在中,
,
为
的中点
所以,
因为在中,
,
,
所以
因为,
平面
所以平面
因为平面
所以平面
平面
方法2:
设的中点为
,连接
,
.
因为在中,
,
为
的中点
所以,
因为,
,
所以≌
≌
所以
所以
因为,
平面
所以平面
因为平面
所以平面
平面
方法3:
设的中点为
,连接
,因为在
中,
,
所以
设的中点
,连接
,
及
.
因为在中,
,
为
的中点
所以.
因为在中,
,
为
的中点
所以.
因为,
平面
所以平面
因为平面
所以
因为,
平面
所以平面
因为平面
所以平面
平面
(Ⅱ)由平面
,
,如图建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
由平面
,故平面
的法向量为
由,
设平面的法向量为
,则
由得:
令,得
,
,即
由二面角是锐二面角,
所以二面角的余弦值为
(Ⅲ)设,
,则
令
得
即,μ是关于λ的单调递增函数,
当时,
,
所以
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某名校从年到
年考入清华,北大的人数可以通过以下表格反映出来。(为了方便计算,将
年编号为
,
年编为
,以此类推……)
年份 | ||||||||||
人数 |
(1)将这年的数据分为人数不少于
人和少于
人两组,按分层抽样抽取
年,问考入清华、北大的人数不少于20的应抽多少年?在抽取的这
年里,若随机的抽取两年恰有一年考入清华、北大的人数不少于
的概率是多少?;
(2)根据最近年的数据,利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程,并用以预测
年该校考入清华、北大的人数。(结果要求四舍五入至个位)
参考公式:
【题目】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标。分值权重表如下:
总分 | 技术 | 商务 | 报价 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活,报价标的评分方法是:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基础上扣0.8分。在某次招标中,若基准价为1000(万元)。甲、乙两公司综合得分如下表:
公司 | 技术 | 商务 | 报价 |
甲 | 80分 | 90分 |
|
乙 | 70分 | 100分 |
|
甲公司报价为1100(万元),乙公司的报价为800(万元)则甲,乙公司的综合得分,分别是
A. 73,75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4