题目内容

11．已知数列{an}的前n项和Sn=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{bn}的前2015项和T2015．

分析 （1）由Sn=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n，可得当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1即可得出．
（2）bn=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵Sn=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n，
∴当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}$n2+$\frac{1}{2}$n-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{1}{2}（n-1）]$=n，
当n=1时上式也满足，
∴an=n．
（2）bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{bn}的前2015项和T2015=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}）$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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9．下列写法是否正确，说明理由
①{（1，2）}={（2，1）}={（x，y）|x=1，或y=2}={1，2}
②{y|y=-x2+2，x∈R}∩{y|y=-x+2，x∈R}={（0，2），（1，1）}
③0∈∅，∅?{0}．
2．命题“?x∈R，ex＞x2”的否定是（　　）
A．不存在x∈R，使ex＞x2B．?x0∈R，使ex0＜x02
C．?x0∈R，使ex0≤x02D．?x∈R，使ex≤x2
19．若实数x、y满足约束条$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-3≤0}\\{x-2y+4≥0}\\{2x+y-2≤0}\end{array}\right.$，则z=x+y的最大值为（　　）
A．1B．2C．3D．5
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m＞1，且am-1+am+1-am-1=0，S2m-1=39．则m等于（　　）
A．19B．39C．10D．20
16．已知$sinθ=\frac{4}{5}$，$cosθ=-\frac{3}{5}$，则2θ是（　　）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
3．在△ABC中，a=3，A=30°，B=60°，则△ABC的面积S=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
20．给出下列四个命题：
①椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则b=c
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③已知抛物线y2=2px上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0（O为原点），则y1y2=-p2；
④动点M到两定点A、B的距离之比为常数λ（λ＞0且≠1），则动点M的轨迹是圆．
其中的真命题是①②④．（把你认为是真命题的序号都填上）
1．把函数$y=sin（2x+\frac{π}{3}）$的图象向左平移φ（|φ|＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到的图象关于y轴对称，则φ的最小正值为（　　）
A．$\frac{π}{12}$B．$\frac{π}{6}$C．$\frac{π}{4}$D．$\frac{π}{3}$

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