题目内容
【题目】在四边形中,
,
;如图,将
沿
边折起,连结
,使
,求证:
(1)平面平面
;
(2)若为棱
上一点,且
与平面
所成角的正弦值为
,求二面角
的大小.
【答案】(1)证明见详解;(2)
【解析】
(1)由题可知,等腰直角三角形与等边三角形
,在其公共边AC上取中点O,连接
、
,可得
,可求出
.在
中,由勾股定理可证得
,结合
,可证明
平面
.再根据面面垂直的判定定理,可证平面
平面
.
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,由点F在线段
上,设
,得出
的坐标,进而求出平面
的一个法向量
.用向量法表示出
与平面
所成角的正弦值,由其等于
,解得
.再结合
为平面
的一个法向量,用向量法即可求出
与
的夹角,结合图形,写出二面角
的大小.
证明:(1)在中,
为正三角形,且
在中,
为等腰直角三角形,且
取的中点
,连接
,
,
,
平面
平面
平面
..平面平面
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
,
,
,
设.则
设平面的一个法向量为
.则
,
令,解得
与平面
所成角的正弦值为
,
整理得
解得或
(含去)
又为平面
的一个法向量
,
二面角的大小为
.
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