题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,
,
平面
,
,
,
,且
是
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
与
所成的角为
? 若存在,求出
的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)证明见解析. (Ⅱ) . (Ⅲ)不存在点
;理由见解析.
【解析】
(Ⅰ)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量
,证明
,即可证明
平面
.
(Ⅱ)根据平面的法向量
,求得平面
的一个法向量
,利用向量的夹角公式即可求得二面角
的值.
(Ⅲ)假设存在这样的P,设出P点坐标,根据向量的夹角关系求出P的坐标,根据P的位置即可判断出不存在.
(Ⅰ)证明:因为平面
,
,故以
为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
由已知可得各点坐标为
,
设平面的一个法向量是
由 得
令,则
又因为 ,
所以,又
平面
,所以
平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面的一个法向量是
.
因为平面
,所以
又因为,所以
平面
.
故是平面
的一个法向量.
所以 ,又二面角
为锐角,
故二面角的大小为
(Ⅲ)假设在线段上存在一点
,使得
与
所成的角为
不妨设 ,则
所以
由题意得
化简得
解得
因为,所以无解
即在线段上不存在点
,使得
与
所成的角为
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