题目内容
【题目】已知函数.
(1)设函数,求函数
的极值;
(2)若在
上存在一点
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,
极大值为
,无极小值;当
时,
无极值;(2)
或
.
【解析】
(1)求出,对
分类讨论求出单调区间,即可求出结论;
(2)在
上存在一点
,使得
成立,即为
,只需
,结合(1)中的结论对
分类讨论求出
,即可求解.
(1)依题意,定义域为
,
∴,
①当,即
时,
令,∵
,∴
,
此时,在区间
上单调递增,
令,得
.
此时,在区间
上单调递减.
②当,即
时,
恒成立,
在区间
上单调递减.
综上,当时,
在
处取得极大值
,无极小值;
当时,
在区间
上无极值.
(2)依题意知,在上存在一点
,使得
成立,
即在上存在一点
,使得
,
故函数在
上,有
.
由(1)可知,①当,
即时,
在
上单调递增,
∴,∴
,
∵,∴
.
②当,或
,
即时,
在
上单调递减,
∴,∴
.
③当,即
时,
由(2)可知,在
处取得极大值也是区间
上的最大值,
即,
∵,∴
在
上恒成立,
此时不存在使
成立.
综上可得,所求的取值范围是
或
.
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