题目内容
【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知不等式在
上恒成立,求实数
的最大值;
(3)当时,求函数
的零点个数.
【答案】(1)见解析(2)(3)9个
【解析】
(1) 当时,
可得
是偶函数,当
时,可得
是非奇非偶函数.
(2) 当时,
,即将问题转化为
在
上恒成立,设
,只要使
.然后求出
的导数,求出函数
的最小值.
(3)当时,
,得到
得
或
,问题即求
和
和
三个方程总的解的个数.
解:(1)函数定义域为,关于原点对称.
当时,
,
,
,
则是定义在
上的偶函数;
当时,
,
,
且
,
所以是非奇非偶函数.
(2)当时,
,即已知
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,只要使
.
,因为
,
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
上单调递增,
即的最小值是
,
解不等式,得
.所以实数
的最大值是
.
(3)当时,
,解
得
或
,
问题即求和
和
三个方程总的解的个数.
由(1)得函数是偶函数,
当时,
,
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
所以,且
由偶函数的性质,在
上单调递减,
在上单调递增,在
上单调递减,
在上单调递减,在
上单调递增
方程有3个解;方程
有2个解;
方程有4个解;所以函数
的零点个数是9个.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为
) ,根据产品出厂检测结果,每片瓷砖质量
(单位:
)在
之间的称为正品,其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷
砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准,主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分,每片价格分别为元、
元、
元.若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为,设矩形瓷砖的长与宽分别为
(单位:
) ,则“尺寸误差”为
,“优等”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是
.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取
片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
(甲厂产品的“尺寸误差”频数表)
尺寸误差 | 频数 |
(乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)
(1)根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值;
(2)若用这个样本的频率分布估计总体分布,求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格;
(3)现用分层抽样的方法从甲厂生产的片样本瓷砖中随机抽取
片,再从抽取的
片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选.取
片进一步分析其“平整度”,求这
片瓷砖的价格之和大于
元的概率.