Question

【题目】设f（x）= +5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A.[﹣ ，+∞）
B.（﹣∞，﹣3]
C.（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞）
D.[﹣ ， ]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函数的导数f′（x）=x2+2ax+5，
①若函数在区间[1，3]上为单调增函数，则等价为f′（x）≥0恒成立，
即x2+2ax+5≥0，
即2ax≥﹣x2﹣5，
则2a≥ =﹣（x+ ），
∵x+ ，当且仅当x= ，即x= ∈[1，3]取等号，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
即2a≥﹣2 ，解得a≥﹣ ；
②若函数在区间[1，3]上为单调减函数，则等价为f′（x）≤0恒成立，
即x2+2ax+5≤0，
即2ax≤﹣x2﹣5，
则2a≤ =﹣（x+ ），
∵x+ ，当且仅当x= ，即x= ∈[1，3]取等号，
∴﹣（x+ ）max=﹣2 ，
当x=1时，﹣（x+ ）=﹣6，
当x=3时，﹣（x+ ）=﹣（3+ ）=﹣ ＞﹣6，
∴﹣（x+ ）min=﹣6，
即2a≤﹣6，解得a≤﹣3；
综上a∈（﹣∞，﹣3]∪[﹣ ，+∞），
故选：C
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．