题目内容
【题目】已知函数的最大值为
.
(1)若关于的方程
的两个实数根为
,求证:
;
(2)当时,证明函数
在函数
的最小零点
处取得极小值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】分析:(1)本小问的解决方法是利用这个条件,得到含有
的等式,对等式进行变形处理,使得等式左边是
,右边是分式
。则求证目标不等式等价于证等式右端的部分
,运用作差比较法构造函数
,对
运用导数进行研究,即可证明原不等式;
(3)讨论函数的单调性,取绝对值得到的分段形式,若证明
,则证明
,记
,求导分析单调性即可证得.
详解:(1),由
,
得;由
,得
;
所以,的增区间为
,减区间为
,
所以,
不妨设,∴
,
∴,
∴,∴
,∴
,
设,则
,
所以,在
上单调递增,
,则
,
因,故
,所以
;
(2)由(1)可知,在区间
单调递增,又
时,
,
易知,在
递增,
,
∴,且
时,
;
时,
,
当时,
,
于是时,
,
所以,若证明,则证明
,
记,
则,
∵,∴
,
∴在
内单调递增,∴
,
∵,
∴在
内单调递增,
∴,
于是时,
.
所以在
递减.
当时,相应的
.
所以在
递增.
故是
的极小值点.
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