Question

12．设f（x）是一个二次项系数为正的二次函数，f（x+3）=f（-1-x）对任意x∈R都成立，若向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$，2sinx），$\overrightarrow{b}$=（2，sinx），$\overrightarrow{c}$=（2，1），$\overrightarrow{d}$=（1，cos2x），求f（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）-f（$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$）＞0的解集．

Answer 1

分析 由已知条件便知二次函数f（x）的对称轴为x=1，并且在[1，+∞）上单调递增，而容易得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2-cos2x≥1$，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=2+cos2x≥1$，从而由原不等式可得f（2-cos2x）＞f（2+cos2x），这样根据f（x）在[1，+∞）上单调递增便可得出2-cos2x＞2+cos2x，从而解该不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1+2si{n}^{2}x=2-cos2x$≥1，$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=2+cos2x$≥1；
∵f（x）是一个二次项系数为正的二次函数，f（x+3）=f（-1-x）对任意x∈R都成立；
∴x=1为f（x）的对称轴，f（x）在[1，+∞）上单调递增；
由$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）-f（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}）＞0$得，$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）＞f（\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}）$；
∴f（2-cos2x）＞f（2+cos2x）；
∴2-cos2x＞2+cos2x；
∴cos2x＜0；
∴$2kπ+\frac{π}{2}＜2x＜2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z；
∴$kπ+\frac{π}{4}＜x＜kπ+\frac{3π}{4}$，k∈Z；
∴原不等式的解集为$（kπ+\frac{π}{4}，kπ+\frac{3π}{4}），k∈Z$．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，余弦函数的值域，以及二次函数的单调性，f（x+m）=f（n-x）时，知道f（x）关于x=$\frac{m+n}{2}$对称，熟悉余弦函数的图象．